B.1. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi

<!--[if gte mso 9]> Normal 0 false false false false EN-US X-NONE X-NONE a. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat:

- Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi

- Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi

- Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi

b. Uraian

Materi Perhitungan peluang yang sering dipopulerkan dengan istilah Probabilitas pertama kali dikenalkan oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada abad ke-17 melalui permainan dadu. Dari permainan dadu inilah akhirnya berkembang permainan permainan yang lain seperti pelemparan koin, permainan kartu bridge (remi) dan permainan lainnya. Oleh karena itu, konsep peluang lahir melalui suatu permainan. Dalam perkembangannya, perhitungan peluang mendapatkan perhatian yang serius dari para ilmuwan karena mempunyai peran yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya, seperti Ilmu fisika modern, Statistika, dan lain-lain.

1). Pengertian Kaidah Pencacahan (Caunting Slots)

Kaidah pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas :

a. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots),

b. Permutasi, dan

c. Kombinasi.

2). Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots)

Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di mana : K = k1 x k2 x . . . x kn K sering disebut dengan istilah banyaknya tempat yang tersedia dengan aturan perkalian atau Kaidah perkalian. Untuk menentukan banyaknya tempat yang tersedia selain menggunakan aturan perkalian, juga menggunakan diagram pohon, tabel silang, dan pasangan berurutan Contoh 1 Misalkan ada dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk?

Jawab: Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode berikut ini:

�� Dengan tabel silang

Dari tabel silang dan diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), dan (b,u),

Dengan Pasangan Terurut

Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna baju dinyatakan B = {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna.

Contoh 2

Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung?

Jawab: Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Jadi, seluruhnya ada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh.

Contoh 3

Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang?

Jawab: Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalnya terpilih angka 1. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0, 2, 3 dan 4. Misalnya terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari 3 angka, yaitu 2, 3, dan 4. Misalkan yang terpilih angka 2. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dari 2 angka, yaitu 3, dan 4. Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang.

Contoh 4 Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang.

a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk?

b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk?

c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk?

d. Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk?

Jawab:

a. Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk = 6 x 6 x 5 x 4 = 720 angka.

b. Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 2. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk = 4 x 5 x 5 x 4 = 400 angka.

c. Bilangan yang kurang dari 5.000, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan dapat dibentuk = 4 x 6 x 5 x 4 = 480 angka.

d. Bilangan genap apabila satuannya merupakan angka genap, yaitu 0, 2 atau 4. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 0, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 2, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 4, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 2, 3, 5, dan 7. Misal terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 2, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk adalah = (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) = 240 angka. 3). Pengertian dan Notasi Faktorial n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. Notasi dari n faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : “n faktorial”)

3). Pengertian dan Notasi Faktorial

n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n.

Notasi dari n faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : “n faktorial”) n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1).

n Contoh 5 Tentukanlah nilai dari 0! Jawab: Dari definisi faktorial : n ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . n . . . 1), (n – 1) ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . . . 2).

Jika persamaan 2) kita substitusikan ke persamaan 1), maka akan diperoleh: n ! = (n – 1) ! . n atau n = (n 1)! n! �� .

Jika n = 1 maka akan diperoleh kesamaan: 1 = (1 1)! 1! �� atau 1 = 0! 1! , Jadi, 0! = 1! = 1

B.2 Peluang Suatu Kejadian

a. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat:

�� Menjelaskan pengertian kejadian dan ruang sampel

�� Menghitung frekuensi harapan suatu kejadian

�� Menghitung peluang suatu kejadian

�� Menghitung peluang kejadian saling lepas

�� Menghitung peluang kejadian saling bebas

�� Menerapkan konsep peluang dalam menyelesaikan masalah program keahlian.

b. Uraian Materi

1). Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, hasil yang muncul dapat dituliskan dengan memakai notasi himpunan. Misalkan “G” dimaksudkan munculnya gambar dan “A” munculnya angka. Himpunan dari semua hasil di atas yang mungkin muncul pada percobaan ditulis S = {G , A}, S disebut ruang sampel atau ruang. Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam, himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada percobaan ditulis S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. S disebut ruang sampel atau ruang contoh. Jadi, ruang sampel adalah Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf “S” yang disebut sebagai himpunan semesta. Anggota-anggota ruang contoh disebut titik sampel atau titik contoh. Misalnya ruang contoh S = {G, A} mempunyai 2 titik contoh, yaitu G dan A yang disebut sebagai anggota-anggota dari himpunan semesta. Banyaknya anggota ruang sampel biasanya dilambangkan dengan n(S). Setiap kali melakukan percobaan akan diperoleh hasil kejadian atau peristiwa.

Misalnya, kegiatan melempar sekeping uang logam akan muncul sisi gambar (G) atau munculnya sisi angka (A). Kegiatan melempar sebuah dadu bersisi enam, akan diperoleh hasil kejadian yang mungkin muncul salah satu dari enam sisi mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Jadi, hasil kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan dari titik sampel atau merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S. Himpunan kosong atau { } dan S sendiri adalah himpunan bagian dari S, sehingga merupakan kejadian-kejadian. �� �� disebut kejadian yang tak mungkin (mustahil), sedangkan S disebut kejadian yang pasti.

Contoh 21 Dua uang logam dilempar bersamaan, tentukan:

a. Ruang Sampel dan banyaknya ruang sampel?

b. Titik sample?

Jawab: a. Ruang sampel diperlihatkan pada tabel di bawah ini:

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} dan n(S) = 4

b. Titik sampelnya ada 4, yaitu: (A,A), (A,G), (G,A), (G,G).

Contoh 22

Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, jika P adalah kejadian muncul 2 angka, tentukanlah ruang sampel S, banyaknya ruang sampel, dan himpunan kejadian P.

Jawab: S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} dan n(S) = 8

P = {AAG, AGA, GAA}

2). Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Sebelum mengetahui definisi dari peluang suatu kejadian, sebaiknya diketahui dahulu pengertian frekuensi relatif.

Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyaknya hasil yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.

Misalnya percobaan melempar sekeping uang logam sebanyak 12 kali. Jika muncul “G” 7 kali dan muncul “A” 5 kali, maka frekuensi relatif (Fr) dari G = 12 7 dan frekuensi relatif (Fr) dari A = 12 5 atau dapat ditulis: Fr(G) = 12 7 dan Fr(A) = 12 5 . Dengan demikian nilai frekuensi relatif sekeping mata uang dari G atau A akan mendekati 2 1 . Peluang munculnya G atau A adalah 2 1 ditulis P(G) = P(A) = 2 1 . Jadi, suatu percobaan yang mempunyai beberapa hasil, masing-masing mempunyai peluang yang sama, dapat dirumuskan sebagai berikut : n(S) P(A) �� n(A) Keterangan: P(A) = Peluang munculnya suatu kejadian A n(A) = Banyaknya anggota dalam kejadian A n(S) = Banyaknya anggota dalam himpunan ruang sampel. Nilai P(A) berkisar antara 0 sampai 1, P(A) = 1 adalah suatu kepastian dan P(A) = 0 adalah suatu mustahil. Contoh 23 Pada pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang kejadian muncul: a. Bilangan 2? b. Bilangan prima?

Jawab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6

a. Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan 2, maka A ={2}, dan n(A) = 1 Jadi, P(A) = n(S) n(A) = 6 1 .

b. Misalkan B adalah kejadian muncul bilangan prima, maka B = {2, 3, 5}, n(B) =3 Jadi, P(B) = n(S) n(B) = 6 3 = 2 1 .

Contoh 24 Pada pelemparan suatu uang logam dan sebuah dadu, berapakah peluang munculnya:

a. Gambar pada uang logam dan bilangan genap pada dadu?

b. Angka pada uang logam dan bilangan komposit pada dadu Nilai P(A) berkisar antara 0 sampai 1, P(A) = 1 adalah suatu kepastian dan P(A) = 0 adalah suatu mustahil.

Contoh 23 Pada pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang kejadian muncul:

a. Bilangan 2?

b. Bilangan prima? J

awab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6

a. Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan 2, maka A ={2}, dan n(A) = 1 Jadi, P(A) = n(S) n(A) = 6 1 .

b. Misalkan B adalah kejadian muncul bilangan prima, maka B = {2, 3, 5}, n(B) =3 Jadi, P(B) = n(S) n(B) = 6 3 = 2 1 .

Contoh 24 Pada pelemparan suatu uang logam dan sebuah dadu, berapakah peluang munculnya:

a. Gambar pada uang logam dan bilangan genap pada dadu?

b. Angka pada uang logam dan bilangan komposit pada dadu?

Dari tabel di atas:

S = {(A, 1), (A, 2), . . . , (G, 6) }, maka n(S) = 12

a. Misalkan A kejadian muncul gambar pada uang logam dan bilangan genap pada dadu, maka A = {(G, 2), (G, 4), (G, 6)}, dan n(A) = 3. Jadi, P(A)= n(S) n(A) = 12 3 = 4 1 .

b. Misalkan B kejadian muncul Angka pada uang logam dan bilangan komposit pada dadu, maka B = {(A, 4), (A, 6)}, n(B) = 2. Jadi, P(B) = n(S) n(B) = 12 2 = 6 1 .

Contoh 25 Suatu kotak berisi 6 bola putih dan 4 bola merah. Dari kotak itu diambil sebuah bola secara acak. Berapa peluang yang terambil itu:

a. Sebuah bola putih?

b. Sebuah bola merah?

Jawab: Bola putih dan bola merah seluruhnya ada 10 buah, jadi, n(S) = 10

a. Bola putih ada 6, jadi, n(bola putih) = 6 jadi, peluang terambilnya sebuah bola putih adalah: P (1 bola putih) = n(S) n(bola putih) = 10 6 = 5 3 .

b. Bola merah ada 4, jadi, n(bola merah) = 4 jadi, peluang yang terambil sebuah bola merah adalah : P (1 bola merah) = n(S) n(bola merah) = 10 4 = 5 2 .

Contoh 26 Di dalam sebuah kotak ada 9 bola yang diberi nomor 1 sampai 9. Apabila 2 bola diambil secara acak (random), tentukan peluang terambilnya:

a. Kedua bola bernomor ganjil

b. Kedua bola bernomor genap

c. Satu bola bernomor ganjil dan satu bola bernomor genap?

Jawab: Banyaknya ruang sampel: memilih 2 bola dari 9 bola adalah 9C2 = 7!.2! 9! = 2 8.9 = 36

a. Misalkan A kejadian muncul bola bernomor ganjil, maka A memilih 2 bola dari 5 bola yang bernomor ganjil, n(A) = 5C2 = 3!.2! 5! = 10 P(A) = n(S) n(A) = 36 10 = 18 5

b. Misalkan B kejadian muncul bola bernomor genap, maka B memilih 2 bola dari 4 bola yang bernomor genap, n(B) = 4C2 = 2!.2! 4! 6 dan P(B) n(S) n(B) = 36 6 = 6 1

c. Misalkan C kejadian muncul 1 bola bernomor ganjil dan 1 bola bernomor genap, n(C) = 5C1 x 4C1 = 4 x 5 = 20 P(B) = n(S) n(C) = 36 20 = 9 5 Contoh 27 Pasangan suami istri berencana memiliki 3 orang anak.

Tentukan peluang 3 anak tersebut:

a. Laki-laki semua

b. Dua laki-laki

c. Paling sedikit 1 perempuan?

Jawab: Misalkan laki-laki dilambangkan dengan L, dan perempuan dengan P, maka: S = {LLL, LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}, sehingga n(S) = 8

a. Jika A = semua laki-laki, maka A = {LLL} , n(A) =1 jadi, P(A) = n(S) n(A) = 8 1

b. Jika B kejadian dua anak laki-laki, maka B = {LLP, LPL, PLL} , n(B) = 3 P(B) = n(S) n(B) = 8 3

c. Jika C kejadian paling sedikit 1 perempuan, maka C = { LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP} , n(C) = 7, sehingga P(C) = n(S) n(C) = 8 7

Catatan: Pola segitiga Pascal dapat juga digunakan untuk menyelesaikan berbagai soal peluang dimana kejadian sederhananya memiliki titik sampel 2. Jumlah ruang sampel n(S) dari n objek yang mempunyai dua sisi apabila ditos bersama-sama adalah 2n, atau n(S) = 2n.

Contoh 28 Sepuluh uang logam yang bersisi G dan A dilempar bersama, tentukanlah :

a. Banyaknya ruang sampel

b. Peluang munculnya 3 gambar

c. Peluang munculnya 7 angka

d. Peluang munculnya paling sedikit 8 gambar!

Jawab:

a. Jumlah n(S) dari 10 keping uang logam jika dilempar bersama = 210 = 1.024

b. n(3 gambar) dari pola segitiga Pascal = 10C3 = 7!.3! 10! = 1.2.3 8.9.10 = 120, jadi, P(3 gambar) = n(S) n(3gambar) = 128 15 1.024 120 ��

c. n(7 angka) dari pola segitiga Pascal = 10C7 = 7!.3! 10! = 1.2.3 8.9.10 = 120, jadi, P(7 angka) = n(S) n(7 angka) = 128 15 1.024 120 ��

d. Paling sedikit 8 gambar( > 8 gambar), berarti yang memungkinkan: n(8 gambar) = 10C8 = 8!.2! 10! = 45, n(9 gambar) = 10C9 = 9!.1! 10! = 10, dan n(10 gambar) = 10C10 = 10!.0! 10! =1. Sehingga n(> 8 gambar) = 45 + 10 + 1 = 56. Jadi, P(> 8 gambar) = n(S) n( �� 8 gambar) = 128 7 1.024 56 �� . 5).

Peluang Kejadian Majemuk Kejadian majemuk adalah kejadian yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan memanfaatkan operasi antar himpunan, kita akan menentukan peluang kejadian majemuk. Operasi antar himpunan tersebut adalah gabungan dua himpunan dan irisan dua himpunan.

a). Aturan Penjumlahan dalam Peluang Kejadian Majemuk Misalkan pada percobaan melempar dadu bersisi enam sebanyak satu kali. Kejadian A muncul bilangan prima, yaitu A = {2, 3, 5} dan kejadian B muncul bilangan genap, yaitu B = {2, 4, 6}. Dalam diagram Venn, dua kejadian di atas dapat dilukiskan sebagai berikut:

Misalkan kejadian A muncul bilangan 1 atau 3, ditulis A ={1, 3} sedangkan kejadian B muncul bilangan 2 atau 4, ditulis B ={2, 4}. Dalam diagram Venn, himpunan A dan B digambarkan:

Dari diagram Venn tampak bahwa A dan B adalah dua himpunan saling lepas atau saling asing, karena A �� B = Ø atau n(A �� B) = 0 Dari operasi gabungan dua himpunan yang saling lepas diperoleh: n(A U B) = n(A) + n(B) ( karena n(A �� B) = 0), P(A U B) = n(S) n( AUB ) = n(S) n( A ) �� n(B ) = n(S) n( B ) n(S) n( A ) Contoh 35 Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan < 2 atau > 5?

Jawab: Misal A kejadian munculnya bilangan < 2 maka A = {1, 2} , P(A) = 3 1 6 2 �� dan B kejadian munculnya bilangan > 5 maka B = {5, 6}, P(B) = 3 1 6 2 �� Karena n(A �� B)= 0, maka A dan B adalah kejadian yang saling lepas, sehingga P(A U B) = P(A) + P(B) = 3 2 3 1 3 1 ��

�� Contoh 36 Dua dadu dilempar bersama-sama, tentukan peluang munculnya: a. Dua dadu berjumlah 6 atau berjumlah 10 b. Dua dadu berjumlah 6 atau muncul mata dadu bernomor lima!

Jawab: